六年级10道变态难数学题圆
圆是初中数学中非常重要的一个知识点，是很多高中数学知识的基础。那么，六年级的学生对于圆的掌握以及解题能力如何呢？接下来，我们就来看一下六年级10道极难数学题圆。
题目1：两个相交的圆A、B的圆心距为24cm，直线AB的长度为15cm，求圆A、B的半径。
首先，我们可以通过勾股定理求出弦AB与圆心距的关系：$AB^2=AH^2+BH^2$，其中AH、BH分别为圆A、B的半径，得出$AH^2+BH^2=225$。另外，根据圆的性质，圆心距为24cm的两个圆的半径相等，即$AH=BH$。
将$AH=BH$代入$AH^2+BH^2=225$，得到$2AH^2=225$，即$AH=\sqrt{112.5}$。因此，圆A、B的半径均为$\sqrt{112.5}$。
题目2：已知正方形ABCD的边长为6cm，求内切于正方形的圆的半径。
如下图所示，圆O为正方形ABCD的内切圆。连接圆心O与正方形的一个顶点A，得到直角三角形AOD。根据勾股定理，有$OA^2=OD^2+AD^2$。
由于正方形的特殊性质，我们可以得知AD=6cm，而OD = OA - AD/2 = (6-2r)/2，其中r为圆O的半径。代入勾股定理中，得到：
$$r=\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$$
因此，内切于正方形ABCD的圆的半径为$\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$ cm。
题目3：以正方形ABCD的一个顶点A为圆心，经过对角线BD的交点E，画一个圆。求圆心到对角线BD的距离。
如下图所示，圆心为A，交点为E，圆心到对角线BD的距离为AH。
根据圆的性质，圆心到交点E的距离AE等于圆心到线段上任意一点H的距离AH，所以我们只需要求出段BD中点O到顶点A的距离，即可求出AH。
显然，点O是$√2/2×AB$（AB为正方形的边长）处，因此$AO=\sqrt{2}×AB/2=3\sqrt{2}$。因为$AH=2AO/3$，所以AH为$2×3\sqrt{2}/3=2\sqrt{2}$。
因此，圆心到对角线BD的距离为2√2 cm。
题目4：如图，已知两圆心的距离为6 cm，半径分别为3 cm和4 cm，求两个圆的公切线的长度。
如上图所示，两个圆的圆心分别为O1和O2，半径分别为3 cm和4 cm。连接O1O2，得到$\triangle O1O2D$。垂直于O1O2的直线段DE即为两圆的公切线段。
根据勾股定理，$\triangle O1O2D$中的OD长为2 cm。同时，由于$\triangle O1OD$和$\triangle O2OD$为等腰三角形，可以得到：
$$O_1D=O_1O_2×\frac{3}{7}=2.57$$
$$O_2D=O_1O_2×\frac{4}{7}=3.43$$
因此，两个圆的公切线段长为2×DE=2×$\sqrt{O_1D×O_2D}$=4.67 cm。
题目5：两个正方形互相内切，其中一个正方形的对角线长为8 cm，求另一个正方形的对角线长。
如下图所示，正方形ABCD和正方形EFGH互相内切。根据正方形的性质，AC=8cm是正方形ABCD的对角线长度。设正方形EFGH的对角线长度为x，那么我们需要求解x的值。
首先，由于正方形互相内切，所以正方形的四条边都是相接的。因此，正方形EFGH的一条边长等于正方形ABCD的一条边长，即得到：
$$x=\frac{1+\sqrt{2}}{2}×8=\sqrt{32}+4$$
因此，另一个正方形的对角线长为$\sqrt{32}+4$ cm。
题目6：如图，在等腰三角形ABC中，以角A为圆心，AB为半径，画一个圆。求圆切线BC的长度。
我们将问题简化一下，将等腰三角形ABC旋转一下（如图），角A为圆心的圆将变为正方形，此时我们很容易求出BC所对的线段长LM。
根据正方形的性质，LM等于ABC的高，所以我们只需要求出ABC的高即可。由于ABC是等腰三角形，所以它的底边中点D位于圆上，且BD等于AB的一半，即$BD=\dfrac{1}{2}×AB$。根据勾股定理，得到：
$$BD^2+AD^2=AB^2$$
代入$BD=\dfrac{1}{2}×AB$可得：
$$AD=\sqrt{\dfrac{3}{4}AB^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB$$
因此，ABC的高BD为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB$，LM的长度可以通过上述方法求得：
$$LM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC$$
因此，圆切线BC的长度为$\dfrac{2}{\sqrt{3}}LM=\dfrac{4}{\sqrt{3}}AB$。
题目7：如图，在直角三角形ABC中，以AC为直径，画一个圆。圆与BC交于点D，求BD与DC的长度。
如上图所示，以AC为直径的圆和BC相交于点D。设BD为x，DC为y。
首先，我们可以根据圆的性质得出：
$$AD×DC=BD×CD$$
又因为AC是直角三角形ABC的斜边，所以有：
$$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}$$
$$DC=\sqrt{AC^2-(BD+DC)^2}$$
代入得到的两个式子，整理可得：
$$\begin{aligned}
x((x+y)^2+AB^2)&=yAC^2\\
x+y&=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{AC^2-(x+y)^2}
\end{aligned}$$
其中$AB^2=AC^2-BC^2$，将其代入第一个式子得到：
$$x(x+y)^2=xAC^2-BC^2x$$
将它代入第二个式子中，得到：
$$\sqrt{x(x+y)^2+y^2}=\sqrt{xAC^2-BC^2x}+\sqrt{AC^2-(x+y)^2}$$
两边平方，化简得到：
$$y^2=\dfrac{(x-BC^2)^2}{4x}$$
根据$x+y=AD$可以得到：
$$y=\dfrac{BD×CD}{AD}=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
两边平方得到：
$$y^2=\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}$$
带入前面的式子得到：
$$\dfrac{x(x-BC^2)^2}{4(x^2+y^2)}=\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}$$
整理可得：
$$x^2-3y^2=\dfrac{3}{4}BC^2$$
因此，BD和DC的长度分别为：
$$BD=\dfrac{\sqrt{3}}{3}BC$$$$DC=\dfrac{\sqrt{6}}{3}BC$$
题目8：如图，在菱形ABCD中，以BD为直径，画一个圆。圆与AC交于点E，求线段DE的长度。
如上图所示，以BD为直径的圆与菱形ABCD相交于点E。我们需要求解线段DE的长度。
首先，连接AE。由于AD和BC相等，AC和BD相等，因此$\triangle AED$和$\triangle BEC$是全等的（如下图所示），可以得到：
$$AE=BC=\dfrac{1}{2}BD$$
因此，$AD=2AE=BD$。由于以BD为直径的圆经过点E，因此可以得到：
$$SD=SE=SB$$
其中，$SB=BC/2=AD/4$，所以我们可以得到：
$$SD=\dfrac{AD}{4}$$
因此，EM=SD，由勾股定理得到：
$$DE=\sqrt{EM^2+ED^2}=√\dfrac{3}{16}AD^2=√\dfrac{3}{16}BC^2$$
因此，线段DE的长度为$\dfrac{\sqrt{3}}{4}AC$。
题目9：如图，在正方形ABCD中，以AB为直径，画一个圆。设E是圆上一点，求AE与DE的长度比。
如上图所示，以AB为直径的圆与正方形ABCD相交于点E。我们需要求解线段AE与DE的长度比。
首先，根据勾股定理得到：
$$AD=BD=\sqrt{2}×AB$$
对正方形的一条边进行平移，得到下图：
如上图所示，DH=AB，OI=EH=HD/2=AB/2，OL=DE=DI/2=AB/2。
因此，$AE=\sqrt{(OI+OL)^2+IL^2}=√2×OI=AB$，$DE=AB/2$，所以AE与DE的长度比为2：1。
题目10：两个大小不一的正方形外切，大正方形的边长是10 cm，求小正方形的面积。
如上图所示，大正方形边长为10 cm，小正方形外切于大正方形。设小正方形的边长为x，由于小正方形外切于大正方形，因此两个正方形的对角线是共线的。
由勾股定理可得，大正方形的对角线长度为$10×\sqrt{2}$ cm。另外，可以得到小正方形对角线长度为$x×\sqrt{2}$ cm，因为小正方形的对角线即为大正方形对角线去掉两个角上的长度（即大正方形的边长）。
因此，根据题意可得：
$$x=\dfrac{10}{\sqrt{2}+1}=5.07$$
因此，小正方形的面积为$x^2=25.7$ 平方厘米。