新版本见：Gia
概要：
概形（scheme）就是局部为affine scheme的几何空间，但数学家额外要求了一些局部性质；于此同时，affine scheme也是最简单的scheme。这篇文章的目标就是定义一般代数几何中scheme的概念。
目录：层sheaf局部性local概形scheme附录
名词对照：（取自http://zh.wikipedia.org）环 -- ring局部环 -- local ring（局部）赋环空间 -- (locally) ringed space （这个翻译太误导了）概形 -- scheme层 -- sheaf截面，茎 和 芽 -- section，stalk 和 germ同态 -- homomorphism （指代数结构之间的映射。我不喜欢这个翻译）态射 -- morphism （指几何空间之间的映射。我也不喜欢这个翻译）同构的 -- isomorphic （指代数结构、几何空间都使用）
“上回书说到”:复代数几何：affine schemeGia
正文：
想要定义概形（scheme），我们需要挖掘出层（sheaf）的一些其他性质。
首先就是sheaf上面函数集合的代数结构。
在上一篇文章中，我定义了“函数的集合”的sheaf。考虑affine -scheme（或者复流形）的开集上的函数集上的两个函数，我们可以定义它们的加法和乘法，
（本身是-algebra）
我们也可以定义数乘，对于复数，
所以，本身也构成一个-algebra，因此可以被称为“函数的-algebra”的sheaf。
对于更一般的affine scheme，只考虑考虑函数的加法和乘法，我们可以定义“函数的ring”的sheaf。
不管在代数几何还是微分几何中，我们考虑的sheaf一般都是ring的sheaf；如果是非交换几何，我们会考虑“不交换的ring”的sheaf。
“这一天……到来了呀。”当我们考虑比affine scheme更一般的scheme的时候，就很难再说诸如“sheaf上的函数”这样的话了，我们很快就会看到具体例子，广义函数：“到我了吗……”
广义函数也不够“广义”了啊。那如果是“广义的广义函数”呢，或者“广义的广义广义函数”呢？
不开玩笑，我相信我们是有办法通过推广函数的定义来解决这个问题的，但是这几天我并没有想出来。如果有读者在哪本书看到过，能告诉我吗？万分感谢。等我解决它，我会另起一篇文章的。
为了解决这个问题，我们只能忘记“函数”，开始思考抽象的“ring的sheaf”。
在继续该概念的定义之前，让我们明确一下本文中的ring是什么，一个ring是交换的（代数几何一般表示交换代数几何）；一个ring包含乘法单位元，记作1；存在一个特殊的ring，被称为零ring，记作；其中，这个ring只有一个元素；对于ring 和ring ，它们之间的一个ring同态要求把的射到的，的射到的。
特别的，我们有，所以空集也是一个affine scheme。
那么现在我们可以定义，对于拓扑空间，其上一个“ring的sheaf” 是一个“集合的sheaf”【注】，满足对任意的开集，是一个ring对空集，
【注】：抽象的sheaf中的限制函数（restriction map）需要额外满足我在文章affine scheme的附录中提到的那两条性质。
对空集的限制使得“显然”的成为任何scheme的“子”空间了。
这里定义一个新的名称，用来取代“函数”（不过我依然会使用一样的符号）对的一个开集，的元素被称为上的一个截面（section）【注】；特别的，上的截面被称为全局截面（global section）。
【注】：在微分几何里会定义丛的section，和这个有关联但是差别不小，甚至有点撞符号，我本意是想避开这个词语的。
section是定义在一个开集上的，不过我们也可以考虑“一个点处的section”，被称为germ。
回顾一下ring的sheaf 的定义：对于拓扑空间，取一个开集，是一个ring。
一般来说，对于空间中的一个点，不一定是一个开集，所以我们没有定义过是什么。
对于任意的子集（不一定是开集），我们可以定义
读者：/-:(_@】&》#+\，￥$我：诶嘿。
没事，我也看不懂，这是代数里面的direct limit（大概译作顺极限），依赖于ring的结构。让我们来点简单的，以affine scheme为例。
我们考虑开集，和其上的一个函数，记作；考虑所有满足开集包含的的集合，记作
在这个集合中定义一个等价关系，当且仅当
（注意，代数几何里函数的“相等”是要求形式一样的，即在中对应同一个元素）
现在我们可以定义
读者可以试着证明一下这也是一个ring；特别的，如果本身是个开集，那么两种定义是一致。
其实代数几何里应该只会考虑单点的情况，即当时；此时我们有一条简化的符号，
被称为sheaf 在处的茎（stalk），同时其中的元素记作，
即，任何一个定义在附近的函数，都能在里找到它对应的元素，被称为函数在处的芽（germ）。
如果把“函数”换成“section”，这个定义就很自然的切换到抽象的sheaf上了。
对于同一个空间上的两个ring的sheaf ，一个sheaf morphism 满足，对中任意一开集，有ring同态
和限制映射交换，即对任意两开集，，满足
对于一个sheaf morphism ，取上一点，我们可以定义
读者可以试着证明一下这个定义是有意义的。
如果存在逆映射，使得对每个开集，
（即每个都是在ring意义下的逆映射）
那么就被称为sheaf isomorphism，而和称为isomorphic的，记作
考虑几何空间和拓扑空间，我们有一个连续函数，通过它能在上定义一个sheaf，名为，满足，对任意上的开集，
这样就也是一个几何空间了；
更近一步的，我们可以通过这种方法，把两个几何空间的sheaf，“推”到同一个几何空间上，再进行比较。
细心的读者已经发现，sheaf很难写成“函数的ring”的sheaf了，这也是我在这篇文章中引入抽象sheaf的初衷。
在交换代数里学到局部环（local ring）的时候，我是完全无法理解局部两字的意义的。但在代数几何里面我们发现，scheme上某点的局部性质，完全由该点处的局部环所决定。
学代数几何的话，代数是跑不掉的。
局部环（local ring）是只有一个极大理想（maximal ideal）的ring；用几何的视角来说，对于local ring ，只有一个闭点，即
对于一个域（field），只有一个点，自然是有且只有一个闭点，所以所有的域都是local ring；
（容我吐个槽，英语里微分几何的field（场）和代数里的field（域）是同一个单词，这事就离谱。）
可以想象，有不是域的local ring，也就是说，虽然只有一个闭点，它还可以还有不闭的点，甚至可以有无数个；来看两个例子，
例子一：，我们有，
例子二：【注】，我们有，
【注】：ring of formal power series of ，未来我应该会讲，现在可以跳过。
（这两个例子看不懂也不影响后续阅读）例子一中只有一个不闭的点，例子二中有无数个不闭的点。
local ring可以记作。特别的，我们定义从到的local ring同态为一个ring同态，且满足
局部化（localisation）完整的定义就等读者自己学习代数的时候再去了解吧，我只讲它的一种特殊情况，也是最如其名的情况，在这种情况下，局部化的结果确实是个local ring。
（我在affine scheme那篇文章的附录中介绍了另一种最常见的局部化）
对于一个ring ，考虑它的一个prime ideal ，我们发现，，
什么意思呢？我们发现的补集是一个包含不包含的，对乘法封闭的集合。
那么，在prime ideal 处的局部化（在点处的local ring）是一个ring，记作；
如果本身是个整环（integral domain），比如整数环，那么可以视作的子集，而且里所有元素都可逆，（是满足条件最小的ring）；
对于一般的ring，我们在处理掉里所有的零除子（zero divisor）【注】之后，依然可以视作的子集。
【注】：这个话题我会在定义k-variety的时候细谈的，不出意外的话就是下一篇代数几何了。
综上所述，是一个local ring，唯一的maximal ideal记为。
上面的代数定义确实不大符合我这个系列的风格，现在来看下面这个定理（你也可以把它当成local ring的定义）
对于ring ，考虑，和structure sheaf ，取一点，我们有
什么意思呢？在点的stalk，正好就是在处的局部化。
所以，一个affine scheme本身就是一个locally ringed space （因此是一个scheme，见后文）。
代数的部分到此为止，可以回到scheme的定义了。
几何空间是一个非常非常宽泛的定义。总所周知，适用范围（射程）越广，功能（力量）就越弱。
数学家一般使用的几何空间是ringed space，更多情况下是更强的locally ringed space。
我们定义，ringed space是一种特殊的几何空间，它的sheaf是“ring的sheaf”；
locally ringed space是一种特殊的ringed space，它额外要求空间的每个点的stalk都是local ring。
locally ringed space的性质非常好，在这种几何空间中，每个点都能定义切空间，我很快就会写到的（大概）。
那么，简单来说，一个scheme就是一个局部长成affine scheme的locally ringed space。
“局部”是什么意思，“长成affine scheme”又是什么意思呢？
回忆一下，拓扑流形是局部长成的拓扑空间，指的是每个点都能找到一个开集（本身是个拓扑空间）同胚（homeomorphic）于。
自然的，对于一个locally ringed space ，一个开集本身也是一个locally ringed space，它的sheaf为
至于“一样”，我们需要定义locally ringed space意义下的isomorphic。
isomorphic一般使用可逆的morphism来定义，但我想跳过它，到scheme的morphism再谈。
考虑两个ringed space ，它们是（在ringed space意义下）isomorphic的，意味着存在一个homeomorphism ，使得
其中是的逆函数，它也连续；是上文定义的，定义在上的sheaf；这里是ring意义下的isomorphic。
如果考虑localy ringed space意义下的isomorphic，那么还需要满足，对任意的上的点，
这两个映射（定义在sheaf的章节）是local ring isomorphism了。
到此，我们已经成功的定义了什么是scheme了，严格的描述是，
一个scheme是一个locally ringed space ，对任意中的点，存在一个开邻域，作为一个local ringed space
其中是一个ring，是它的structure sheaf。
姗姗来迟的第二篇代数几何终于完成了。写到一半的时候突然发现广义函数已经不足以用来描述scheme，又花了几天去改。 实际上，在这篇文章动笔的时候我还有很多概念不清楚，毕竟没有正式的上过课，如果有错误希望能指出，十分感谢。 这篇文章的主要参考资料是刘青的《代数几何和算数曲线》，世界图书出版公司有国内特供版，十分推荐。未来关于一般代数几何的内容应该就参照这本书了，不过我应该不会在这里停留太久。