半单性是重要的代数性质。例如我们所熟悉的，半单矩阵就是可对角化的矩阵，半单线性变换就算最小多项式的根互不相同的线性变换，线性代数中所学过的Jordan-Chevalley分解也称为半单-幂零分解，即把线性变换分解为半单的部分和幂零的部分。单模又称不可约模，半单模又称完全可约模。研究半单模，实际上就是研究这个完全可约模的所有不可约子模的结构。对于半单代数的研究，也可以归结为关于单代数的研究。与前文类似，不加说明时， 模指的是左 模。从本篇开始，域用 或 表示。 模指的是代数上的模，其中 是有限维 代数（或 代数）。单模如果非零 模 的子模只有 和 本身，则称为单模（simple module）或不可约模（irreducible module）。
单模又称为不可约模，它无法写成两个非零子模的直和。同理，一个只有平凡子模的非零 模也称为单模。单模有简单的性质：命题：如果 是单模，则对于任一非零元素 都有 。
证明很容易，设 ，则 是 的子模（为什么？），而 是单模。如果 ，则有 ，这与 非零矛盾，因此 ，从而 。
事实上，根据环的理想的极大性和Zorn引理，可以在任一环上构造单模。命题：任一环 上存在单模。
证明：对于所有不含单位元的左理想中，存在一个极大左理想，不妨设为 ，则 就是单模。否则 就有一个真子模同构于 ，其中 也是真左理想，但这与 的极大性矛盾。Schur引理（1）设 模 都是单模， 是非零的模同态，则 是模同构。从而 是除环。（2）设 是有限维 代数， 是代数闭域， 是不可约 模，则 。即对于任一 ，存在某个 使得 。
证明：（1）由于 是单模 的非零子模，所以 ； 而 是单模 的真子模，所以 ，从而是模同构；（2） 是线性变换，设其某个特征值为 ；设非零元 有 ，则 ，且 ，从而 。
Schur引理表明，单模上的模同态都是模同构， 是除环， 是可除代数。而模自同态实际上就可以看作一个标量乘法 。
另外，容易证明单模都是循环模。命题：非零 模 是单模，当且仅当 是由它的任一非零元生成的循环模。
接下来主要考虑代数上的模即 模。由于 也是环，所以也具有一切环上的模所具有的性质。
单模称为不可约模，而半单模称为所谓的完全可约模，是因为半单模能完全分解为一些单模的和。半单模设 是 模，如果 是不可约子模的直和，称 是半单模（semisimple module）或完全可约模（
如果知道了一个完全可约模的所有不可约子模的结构，实际上也就知道了整个半单模的结构。半单模的等价条件设 是 模，下述命题等价：（1） 是半单模（semisimple module）；（2） 是它的单子模的和；（3） 是它的单子模的直和；（4） 非零，且 的每个子模 在 中都有直和补，即存在 的子模 使得 ；（5） 非零，且 的每个不可约子模 在 中都有直和补，即存在 的子模 使得 。
可以证明，半单模的子模和商模都是半单模。在文章https://zhuanlan.zhihu.
中，作者给出了更多的半单模的等价定义。证明都比较容易，注意到由于是单子模，所以和与直和是等价的。因为两个不同的单子模的交集只能是 。这里以（2）到（4）的证明为例：
设 ，其中 都是单子模；设 是 的子模，因为 是 -线性空间，而 是有限维的，因此存在使得 成立的极大子模 。接下来只要证明 即可：利用反证法，假设 ，由于其不可约性有 ，从而 ，这与 的极大性矛盾。所以 ；又因为交集为空，所以是直和。齐次分支设 是半单 模， 是单的 模，记 为 中所有同构于 的子模的和，称为 的 齐次分支或齐次分支或齐次分量（Homogeneous
因为半单模可以完全分解为单模的和，所以半单模的齐次分支就决定了它的结构。定理设 ，其中 都是单 模， 是有限指标集， 是任意的单 模，则有：（1） 是 的 子模；（2） ，其中 ；
证明：（1）的意思是，对于任一 ，都有 ，容易证明。（2）不是显然的，因为 的定义中包含了所有同构于 的子模，所以只有 。但另一方面，因为 的上述直和分解下，任一 可以唯一表示为 ，其中 ，定义如下的射影映射 ，它是 模同态。设 是子模而且 （注意 未必在 中），如果 ，因为 是单模，所以 ，从而 。又因为 ，从而 。
先给出单代数与半单代数的定义。单代数设 是 代数，如果 的理想只有零理想和 本身，称 为单代数（simple algebra）。
半单代数可以定义为半单代数设 是 代数，如果 的幂零理想只有零理想，称 为半单代数（semisimple algebra）。
该定义在下一篇中介绍，幂零理想指的是存在自然数 使得 的理想。也可以把半单代数定义为事实设 是 代数，如果任一 模都是半单模，称 为半单代数。
但其实只需要半单代数的定义设 是 代数，如果左正则模 是半单模，称 为半单代数。
左正则模就是把 左作用在 上的模。从该定义出发，可以证明定理设 是半单代数，则任一 模都是半单模。
证明；设 ， 取遍 的极小左理想。设 是 模， 是非零元，则 ，根据Schur引理，要么 ，要么 是单模，则 是单模的和，从而是半单模。引理设 是 代数，则每个单 模同构于 的一个商模；如果 是半单代数，则单 模同构于 的一个子模。
证明过程略，引理的含义已经很清楚了。我们希望研究的是给定一个代数 ，所有的单 模是什么样子的。不妨设 是所有单 模同构类的代表系，即这里面的每个模互不同构，而且任一个单 模都同构于其中的一个模。上一节中我们知道，如果 是半单 模，则有 。同样地，如果 是半单代数，所以 是半单模，从而 。
下面是Wedderburn给出的一个定理：定理设 是半单的 代数， 是单 模， 是所有单 模同构类的代表系，则（1）任一 ，如果 与 不同构，则 零化 。（2） 是 的极小非零理想，也是单代数。（3） 是有限集合， 是有限个单代数 的和。
证明：（1）为简便起见，设 是正则模。对于 中的任一元素 ， 是同态，则 ，从而 是 的理想。对于两个不同的齐次分支，显然 。又因为都是理想，所以 。根据上述引理，单 模都同构于 的一个子模，所以存在子模 使得 且 ，所以 也零化 和 。
（2）不妨设 更小的 的理想，因为 中存在同构于 的单模 ，所以 ，则 ，从而 到 上的投影都是 ，但投影是单射，所以 。
（3）是因为 是有限维代数。
Wedderburn-Artin定理在代数上的表现刻画了半单代数的结构。Wedderburn-Artin定理如果 是有限维 代数，则下述条件等价：（1） 是半单代数；（2） 同构于单代数的直积；（3） 同构于可除 代数上全矩阵代数的直积，即存在可除 代数 和正整数 使得 。
关于定理的原始版本及其证明，放到后续内容中介绍。
后记：
后续几篇内容将陆续介绍Wedderburn-Artin定理，以及环的大根、小根、Artinian性、Noetherian性等内容。0003：24. Noetherian，Artinian与半单性